Il moto browniano – The Brownian Motion

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Oggi voglio parlare di moto browniano, uno degli elementi fondamentali per chi studia finanza e, in particolar modo, la modellistica. Innanzitutto, che cos’è un moto browniano? Alla domanda rispondo citando le origini di questo concetto, risalenti al 1800 quando un certo Robert Brown osservò il movimento del polline in un liquido; questi, si accorse che le particelle di polline non rimanevano ferme, anzi, si muovevano in modo disordinato e casuale, per effetto degli innumerevoli “urti” a cui le particelle erano sottoposte. Questa è l’idea iniziale che viene poi matematicamente formalizzata da Louis Bachelier nella sua tesi di laurea.
Messo in questi termini potrebbe sembrare che il moto browniano non centri nulla con la finanza; in realtà, invece, Bachelier applica proprio questo concetto al mondo finanziario, ai mercati finanziari. In sostanza, utilizza questo concetto per dimostrare la sua idea di efficienza dei mercati finanziari. Difatti, lui illustra la sua idea partendo dal presupposto che i movimenti dei titoli azionari scambiati seguano un processo di Brown (o processo di Wiener) e che, quindi, il prezzo di ogni titolo ad ogni istante temporale racchiuda in sé tutte le informazioni passate; in questo caso, dunque, sarebbe completamente impossibile prevedere l’andamento futuro di un titolo azionario e la gestione attiva risulterebbe inutile.

Il moto browniano è, quindi, un processo stocastico. Per chi non lo sapesse, un processo stocastico (semplice) X è una funzione reale che associa ad una coppia di valori (evento e tempo) un valore reale. Il moto browniano, però, è un processo stocastico particolare; infatti, indicando con Wt un moto browniano al tempo t, è possibile indicare le seguenti proprietà:

  1. al tempo zero vale zero, con probabilità 1;
  2. presenta incrementi indipendenti;
  3. per ogni s,t con 0 ≤ s < t, gli incrementi (Wt – Ws) sono stazionari distribuiti normalmente: (Wt – Ws) ~ N(0, t-s);
  4. possiede traiettorie continue, senza salti.

Inoltre, è possibile dire che il processo browniano è un processo a variazioni illimitate e che non è differenziabile per qualsiasi tempo, data la sua estrema irregolarità.
Dal moto browniano standard vengono derivati altri processi che vengono utilizzati in finanza, che rimando al futuro.

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