La funzione di utilità Epstein-Zin

La funzione di utilità power utility implica che l’elasticità di sostituzione intertemporale dei consumatori, \psi , sia il reciproco del coefficiente di avversione relativa al rischio, \gamma , ma questo legame non sembra necessariamente sensato. Epstein e Zin fanno ricorso al lavoro teorico di Kreps e Porteus per sviluppare una versione più flessibile del modello power utility.

La funzione obiettivo di Epstein-Zin è data ricorsivamente da:

U_{t}=\left\{ \left( 1-\delta \right) C_{t}^{\frac{1-\gamma }{\theta }}+\delta \left(\mathbb{E}_{t}U_{t+1}^{1-\gamma }\right) ^{\frac{1}{\theta }}\right\} ^{\frac{\theta }{1-\gamma }},

dove \theta \equiv \left( 1-\gamma \right) /\left( 1-1/\psi \right) e \psi rappresenta l’elasticità di sostituzione intertemporale. Questa espressione non sembrerebbe molto agevole da manipolare ed utilizzare in un contesto applicativo. Epstein e Zin hanno dimostrato che il vincolo di bilancio assume la forma che si ottiene da un’equazione di Eulero del tipo:

1=E_{t}\left[ \left\{ \delta \left( \frac{C_{t+1}}{C_{t}}\right) ^{-\frac{1}{\psi }}\right\} ^{\theta }\left\{ \frac{1}{\left(1+R_{p,t+1}\right) }\right\} ^{1-\theta }\left( 1+R_{i,t+1}\right) \right],

in cui \left( 1+R_{i,t+1}\right) è il rendimento lordo di qualsiasi attività disponibile, compresa l’attività priva di rischio e il portafoglio stesso.

Se il rendimento del portafoglio e il consumo sono distribuiti congiuntamente come una Lognormale, è possibile verificare che la crescita attesa del consumo è uguale a:

\mathbb{E}_{t}\left[ \Delta C_{t+1}\right] =\psi \log \delta +\psi \mathbb{E}_{t}r_{p,t+1}+\frac{\theta }{2\psi}\mathbb{V}_{t}\left[ \Delta c_{t+1}-\psi r_{p,t+1}\right] .

La crescita attesa del consumo dipende dalle preferenze temporali, dal rendimento atteso del portafoglio e dagli effetti dell’incertezza presenti nel termine di varianza. È importante notare che l’elasticità di sostituzione intertemporale \psi , e non il coefficiente di avversione al rischio \gamma , determina la risposta della crescita attesa del consumo a variazioni nel rendimento atteso.

Infine, Epstein e Zin hanno mostrato che l’utilità su unità di ricchezza \left( V_{t}\equiv U_{t}/W_{t}\right) è correlata con il consumo per unità di ricchezza \left( C_{t}/W_{t}\right) dall’espressione:

V_{t}=\left( 1-\delta \right) ^{-\frac{\psi }{1-\psi }}\left( \frac{C_{t}}{W_{t}}\right) ^{\frac{1}{1-\psi }}.

Vi sono due casi particolari da prendere in considerazione:

  1. se $\psi $ tende a 1, l’esponente dell’equazione riportata qui sopra tende ad infinito. Comunque, la funzione ha un limite finito, perché il rapporto C_{t}/W_{t} tende a \left( 1-\delta \right);
  2. se \psi tende a 0, allora V_{t} tende a C_{t}/W_{t}, ossia che l’utilità è pari al consumo odierno.
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