Il Lemma di Itô

Il Lemma di Itô è un importante strumento di calcolo stocastico. Consente, infatti, di ottenere, data l’equazione differenziale stocastica che descrive il comportamento di una variabile aleatoria, il comportamento di una qualsiasi funzione di tale variabile che sia differenziabile almeno una volta nel tempo e almeno due volte nella variabile considerata.

Il punto di partenza è dato dall’equazione differenziale

dX(t)=\mu \left( t,X\right) dt+\Sigma \left( t,X\right) ^{\prime }dW,

in cui \mu \left( t,X\right) dt è il termine di deriva (oppure drift) del processo, mentre \Sigma \left(t,X\right)^{\prime }dW rappresenta il termine di diffusione (o diffusion), in cui dW misura l’incremento di un processo di Wiener. Da questa equazione differenziale si vuole ora ricavare una generica funzione Y\left(t,X\right) , sotto le condizioni che sia derivabile almeno una volta rispetto al tempo e almeno due in X, in aggiunta al fatto che le derivate devono essere continue.

Il lemma di Ito si basa su un’espansione in serie di Taylor di Y\left(t,X\right), troncata al secondo ordine, perché si considerano infinitesimi i termini di ordine superiore o uguale a \left( dt\right) ^{2} e, quindi, trascurabili. In particolare, dato che il differenziale di un processo di Wiener è indipendente dal tempo, valgono i seguenti risultati:

\mathbb{E}\left[ dWdt\right] =\mathbb{E}\left[ dW\right] dt=0,
\mathbb{E}\left[ \left( dW\right) ^{2}\right] =dt.

Sviluppando in serie di Taylor (al secondo ordine) la funzione Y(t,X) si ottiene:

ossia

dY=\frac{\partial Y}{\partial t}dt+dX^{\prime }\frac{\partial Y}{\partial X}+\frac{1}{2}\left( \frac{\partial ^{2}Y}{\partial t^{2}}\left( dt\right)^{2}+2dX^{\prime }\frac{\partial ^{2}Y}{\partial t\partial X}dt+dX^{\prime }\frac{\partial ^{2}Y}{\partial X^{\prime }\partial X}dX\right)

Sostituendo il differenziale dX e tralasciando i termini in \left(dt\right) ^{2} si ha:

dY=\frac{\partial Y}{\partial t}dt+\left( \mu ^{\prime }dt+dW^{\prime}\Sigma \right) \frac{\partial Y}{\partial X}+\mu ^{\prime }\Sigma ^{\prime}dWdt+\frac{1}{2}dW^{\prime }\Sigma \frac{\partial ^{2}Y}{\partial X^{\prime}\partial X}\Sigma ^{\prime }dW.

Sostituendo ora i termini dWdt e dW^{\prime }dW con i loro valori attesi, ossia 0 e dt, si può scrivere:

dY=\left[ \frac{\partial Y}{\partial t}+\mu ^{\prime }\frac{\partial Y}{\partial X}+\frac{1}{2}tr\left( \Sigma ^{\prime }\Sigma \frac{\partial ^{2}Y}{\partial X^{\prime }\partial X}\right) \right] dt+\left( \frac{\partial Y}{\partial X}\right) ^{\prime }\Sigma ^{\prime }dW,

dove con «tr» è indicato l’operatore traccia.

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...