Analisi in media-varianza nel breve periodo a tempo discreto

Analisi_Media_Varianza.jpg

Le scelte di portafoglio, in questo contesto, sono definite «miopi», poiché gli investitori ignorano cosa potrebbe accadere nei periodi immediatamente successivi. Si assume, infine, che gli investitori abbiano una ricchezza finanziaria, ma non un reddito da lavoro.
Sono disponibili due attività per un investitore al tempo t: una priva di rischio con rendimento dal periodo t al periodo t+1 pari a R_{f,t+1}, e l’altra rischiosa. Questa attività rischiosa ha un rendimento dal periodo t al periodo t+1 pari a R_{t+1} con media condizionale pari a E_{t}R_{t+1} e varianza condizionale uguale a \sigma _{t}^{2}.

L’investitore pone una quota pari ad \alpha _{t} del proprio portafoglio finanziario nell’attività rischiosa. Dunque, il rendimento del portafoglio è pari a:

R_{p,t+1}=\alpha _{t}R_{t+1}+\left( 1-\alpha _{t}\right)R_{f,t+1}\notag \\=R_{f,t+1}+\alpha _{t}\left( R_{t+1}-R_{f,t+1}\right) ,

in cui il rendimento medio del portafoglio è pari a

E_{t}R_{p,t+1}=R_{f,t+1}+\alpha _{t}\left( E_{t}R_{t+1}-R_{f,t+1}\right)

mentre la varianza del rendimento di portafoglio è

\sigma _{pt}^{2}=\alpha _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}.

Nell’approccio in media-varianza proposto da Markowitz (1952) l’investitore desidera ottenere un alto livello di rendimento con un basso livello di varianza. L’investitore massimizza una combinazione lineare di media e varianza, con peso positivo sulla media e peso negativo sulla varianza, ossia:

\max_{\alpha _{t}}\left(E_{t}R_{p,t+1}-\frac{k}{2}\sigma_{pt}^{2}\right) .

Sostituendo nella media e nella varianza del rendimento di portafoglio e sottraendo il rendimento dell’attività risk free (sottrazione che non modifica il problema di massimizzazione), può essere riscritto come:

\max_{\alpha _{t}}\alpha _{t}\left(E_{t}R_{p,t+1}-R_{f,t+1}\right)-\frac{k}{2}\alpha _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}.

La soluzione per questo problema di massimizzazione è:

\alpha _{t}=\frac{E_{t}R_{t+1}-R_{f,t+1}}{k\sigma _{t}^{2}}.

La quota di portafoglio investita nell’attività rischiosa risulta essere pari al rapporto tra l’eccesso di rendimento atteso e il prodotto tra la varianza condizionale e il parametro k, parametro che rappresenta l’avversione alla varianza. Considerando l’indice di Sharpe 1 S_{t}, la soluzione poc’anzi ottenuta può essere riscritta come:

\alpha _{t}=\frac{S_{t}}{k\sigma _{t}}.

L’eccesso medio di rendimento sul portafoglio è pari a S_{t}^2/k e la varianza di portafoglio è S_{t}^2/k^2, così il rapporto tra media e varianza è pari a 1/k. La deviazione standard del portafoglio è S_{t}/k e, dunque, l’indice di Sharpe del portafoglio è S_{t}.

Questo post è stato il pretesto per utilizzare una funzione di WordPress di cui ignoravo l’esistenza, ossia scrivere direttamente le funzioni matematiche in codice \LaTeX. Al di là di qualche limite della funzionalità, legato al ridotto numero di packages, direi che si tratta di un’ottima scoperta per me e spero che possa tornare utile anche ad altri questa mia osservazione.

1 L’indice di Sharpe (o reward-to-variability ratio) rappresenta l’extrarendimento (rispetto a quello dell’attività priva di rischio) per ogni unità di scarto quadratico medio.

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One thought on “Analisi in media-varianza nel breve periodo a tempo discreto

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