Il discorso comincia intorno agli anni ‘50, quando un certo Harry Markowitz (vincitore, poi, insieme a Merton, Miller e Sharpe, del premio Nobel per l’Economia nel 1990) comincia a teorizzare l’idea che il concetto di rischio di una qualsiasi attività finanziaria fosse legato alle variazioni dei prezzi di questa attività intorno al suo valore medio. In sostanza, Markowitz individuò una prima misura di rischio, anche se la letteratura finanziaria ha poi declassato questa teoria, dato che si è riconosciuto che la varianza (come anche lo scarto quadratico medio) non è una misura di rischio coerente, e quindi non soddisfa le condizioni fondamentali che una buona misura di rischio deve necessariamente rispettare.
Tornando, però, al discorso iniziale e assumendo valide le assunzioni proposte da Markowitz, è possibile prendere in considerazione il caso in cui un investitore voglia minimizzare o comunque ridurre le oscillazioni del rendimento del proprio portafoglio attorno alla media. In questo caso, l’equazione differenziale che mostra l’evoluzione della suddetta ricchezza è esprimibile come segue:
da cui è possibile ricavare il rendimento atteso istantaneo e la varianza istantanea, rispettivamente:
Da quanto sopra descritto, è evidente che un modo per minimizzare la varianza del portafoglio consisterebbe nel non acquistare titoli rischiosi, quindi annullando il vettore dei pesi theta. Tuttavia, questa soluzione non è la soluzione per lo scopo preposto, ossia minimizzare la variabilità del portafoglio stesso, sotto la condizione che si acquistino titoli rischiosi o, per meglio specificare il problema, cercare il portafoglio che abbia la varianza minima, ma sotto la condizione che il rendimento medio sia pari ad un ammontare desiderato e fissato dall’investitore.
Il problema consiste nel calcolare un minimo vincolato con funzione obiettivo concava e vincolo lineare nella variabile di scelta. È possiamo utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange e scrivere la funzione lagrangiana.
Dopo aver calcolato le derivate (prima e seconda), il sistema da risolvere è il seguente:
L’ammontare di ricchezza da investire in ogni titolo rischioso che risolve il problema di minimizzazione della variabilità di portafoglio è pari a:
Ergo, all’aumentare del rendimento atteso desiderato, aumenta anche la quota di ricchezza da investire in titoli rischiosi. Ciò, ovviamente, non sorprende più di tanto, anche perché per puntare a rendimenti maggiori bisogna rischiare di più.
Ora, per calcolare la cosiddetta frontiera efficiente, ossia stimare la volatilità del portafoglio che risolve il problema iniziale, basta sostituire il valore ottimo dei titoli rischiosi appena calcolato nella funzione obiettivo (ottenendo così la varianza minima, dato un certo livello di rendimento prefissato). Lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) è dato da:
Infine, la frontiera efficiente è data da:
ed evidenzia chiaramente una relazione lineare tra il rendimento medio del portafoglio e il suo scarto quadratico medio. Tutti i punti della frontiera sono efficienti e, quindi, non è possibile preferirne uno all’altro se non scegliendo il livello di rendimento atteso che si desidera dal proprio portafoglio.
È possibile anche affrontare il cosiddetto problema duale, fissando non un livello prefissato di rendimento, bensì un livello di scarto quadratico medio e massimizzando, quindi, il rendimento atteso del portafoglio. I risultati ottenibili tramite questo procedimento sono del tutto simili a quelli visti in questo post, perciò non vi tedio ulteriormente.
